提高级-图论算法-割点、割边

## 割点

对于一个无向图，如果把一个点删除后这个图的极大连通分量数增加了，那么这个点就是这个图的割点（又称割顶）。

讲解顺序：

1. 什么是割点（边）
2. dfs dfn low
3. 实现

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### 过程

如果我们尝试删除每个点，并且判断这个图的连通性，那么复杂度会特别的高。所以要介绍一个常用的算法：Tarjan。

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![](http://39.99.183.126:8888/file/2/cut1.svg)

很容易的看出割点是 2，而且这个图仅有这一个割点。

首先，我们按照 DFS 序给他打上时间戳（访问的顺序）。

![](http://39.99.183.126:8888/file/2/cut2.svg)

这些信息被我们保存在一个叫做 `dfn` 的数组中。

还需要另外一个数组 `low`，用它来存储不经过其父亲能到达的最小的时间戳。

例如 `low[2]` 是 1，`low[5]` 和 `low[6]` 是 3。

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然后我们开始 DFS，我们判断某个点是否是割点的根据是：对于某个顶点 $u$，如果存在至少一个顶点 $v$（$u$ 的儿子），使得 $low_v \geq dfn_u$，即不能回到祖先，那么 $u$ 点为割点。

原因分析：
![](http://39.99.183.126:8888/file/2/grap-cut01.jpeg)

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此根据惟独不适用于搜索的起始点，其需要特殊考虑：若该点不是割点，则其他路径亦能到达全部结点，因此从起始点只「向下搜了一次」，即在搜索树内仅有一个子结点。如果在搜索树内有两个及以上的儿子，那么他一定是割点了（设想上图从 2 开始搜索，搜索树内应有两个子结点：3 或 4 及 5 或 6）。如果只有一个儿子，那么把它删掉，不会有任何的影响。比如下面这个图，此处形成了一个环。

![](http://39.99.183.126:8888/file/2/cut3.svg)

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我们在访问 1 的儿子时候，假设先 DFS 到了 2，然后标记用过，然后递归往下，来到了 4，4 又来到了 3，当递归回溯的时候，会发现 3 已经被访问过了，所以不是割点。

更新 `low` 的伪代码如下：

$$
\begin{array}{ll}
1 & \textbf{if } v \text{ is a son of } u \\\\
2 & \qquad \text{low}_u = \min(\text{low}_u, \text{low}_v) \\\\
3 & \textbf{else} \\\\
4 & \qquad \text{low}_u = \min(\text{low}_u, \text{dfn}_v) \\\\
\end{array}
$$

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## 割点所割连通分量数

有的时候，题目不但要求我们求割点，还要求我们求割点所割的连通分量数。

求法如下：

1. 设 cut\[i\] 表示割点 i 所割连通分量数。
2. 对于根节点的割点，显而易见的，它的孩子数就是所割的连通分量数，故 cut\[i\]\=child\[i\] 。
3. 对于非根节点的割点，它所割的连通分量数为其满足条件 low\[v\]\>=dfn\[u\] 的孩子数+1。因为其与父节点的连通，也会因为割点的去除而失去。

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### 例题

[洛谷 P3388【模板】割点（割顶）](https://www.luogu.com.cn/problem/P3388)

例题代码
```cpp
/*
洛谷 P3388 【模板】割点（割顶）
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m;  // n：点数 m：边数
int dfn[100001], low[100001], inde, res;
// dfn：记录每个点的时间戳
// low：能不经过父亲到达最小的编号，inde：时间戳，res：答案数量
bool vis[100001], flag[100001];  // flag: 答案 vis：标记是否重复
vector<int> edge[100001];        // 存图用的

void Tarjan(int u, int father) {  // u 当前点的编号，father 自己爸爸的编号
  vis[u] = true;                  // 标记
  low[u] = dfn[u] = ++inde;  // 打上时间戳
  int child = 0;             // 每一个点儿子数量
  for (auto v : edge[u]) {   // 访问这个点的所有邻居 （C++11）
    if (!vis[v]) {
      child++;                       // 多了一个儿子
      Tarjan(v, u);                  // 继续
      low[u] = min(low[u], low[v]);  // 更新能到的最小节点编号
      if (father != u && low[v] >= dfn[u] && !flag[u]) {  // 主要代码
        // 如果不是自己，且不通过父亲返回的最小点符合割点的要求，并且没有被标记过
        // 要求即为：删了父亲连不上去了，即为最多连到父亲
        flag[u] = true;
        res++;  // 记录答案
      }
    } else if (v != father) {  // 如果这个点不是自己，更新能到的最小节点编号
      low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
  }
  // 主要代码，自己的话需要 2 个儿子才可以
  if (father == u && child >= 2 && !flag[u]) {
    flag[u] = true;
    res++;  // 记录答案
  }
}

int main() {
  cin >> n >> m;                  // 读入数据
  for (int i = 1; i <= m; i++) {  // 注意点是从 1 开始的
    int x, y;
    cin >> x >> y;
    edge[x].push_back(y);
    edge[y].push_back(x);
  }  // 使用 vector 存图
  for (int i = 1; i <= n; i++)  // 因为 Tarjan 图不一定连通
    if (!vis[i]) {
      inde = 0;      // 时间戳初始为 0
      Tarjan(i, i);  // 从第 i 个点开始，父亲为自己
    }
  cout << res << endl;
  for (int i = 1; i <= n; i++)
    if (flag[i]) cout << i << " ";  // 输出结果
  return 0;
}
```

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## 割边

和割点差不多，叫做桥。

对于一个无向图，如果删掉一条边后图中的连通分量数增加了，则称这条边为桥或者割边。严谨来说，就是：假设有连通图 $G=\\{V,E\\}$，$e$ 是其中一条边（即 $e \in E$），如果 $G-e$ 是不连通的，则边 $e$ 是图 $G$ 的一条割边（桥）。

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比如说，下图中，

![割边示例图](http://39.99.183.126:8888/file/2/bridge1.svg)

红色的边就是割边。

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### 过程

和割点差不多，只要改一处：$low_v>dfn_u$ 就可以了，而且不需要考虑根节点的问题。

割边是和是不是根节点没关系的，原来我们求割点的时候是指点 $v$ 是不可能不经过父节点 $u$ 为回到祖先节点（包括父节点），所以顶点 $u$ 是割点。如果 $low_v=dfn_u$ 表示还可以回到父节点，如果顶点 $v$ 不能回到祖先也没有另外一条回到父亲的路，那么 $u-v$ 这条边就是割边。

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### 实现

下面代码实现了求割边，其中，当 `isbridge[x]` 为真时，`(father[x],x)` 为一条割边。

```cpp
int low[MAXN], dfn[MAXN], dfs_clock;
bool isbridge[MAXN];
vector<int> G[MAXN];
int cnt_bridge;
int father[MAXN];

void tarjan(int u, int fa) {
  father[u] = fa;
  low[u] = dfn[u] = ++dfs_clock;
  for (int i = 0; i < G[u].size(); i++) {
    int v = G[u][i];
    if (!dfn[v]) {
      tarjan(v, u);
      low[u] = min(low[u], low[v]);
      if (low[v] > dfn[u]) {
        isbridge[v] = true;
        ++cnt_bridge;
      }
    } else if (dfn[v] < dfn[u] && v != fa) {
      low[u] = min(low[u], dfn[v]);
    }
  }
}
```

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## 练习

-   [P3388【模板】割点（割顶）](https://www.luogu.com.cn/problem/P3388)
-   [POJ2117 Electricity](http://poj.org/problem?id=2117)
-   [HDU4738 Caocao's Bridges](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4738)
-   [HDU2460 Network](https://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2460)
-   [POJ1523 SPF](http://poj.org/problem?id=1523)

Tarjan 算法还有许多用途，常用的例如求强连通分量，缩点，还有求 2-SAT 的用途等。