提高级-图论算法-欧拉图、欧拉回路（通路）

# 欧拉图的概念、实现和应用

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## 定义

-   **欧拉回路**：通过图中每条边恰好一次的回路
-   **欧拉通路**：通过图中每条边恰好一次的通路
-   **欧拉图**：具有欧拉回路的图
-   **半欧拉图**：具有欧拉通路但不具有欧拉回路的图

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## 性质

欧拉图中所有顶点的度数都是偶数。

若 $G$ 是欧拉图，则它为若干个环的并，且每条边被包含在奇数个环内。

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## 判别法

1.  无向图是欧拉图当且仅当：
    -   非零度顶点是连通的
    -   顶点的度数都是偶数
2.  无向图是半欧拉图当且仅当：
    -   非零度顶点是连通的
    -   恰有 2 个奇度顶点
3.  有向图是欧拉图当且仅当：
    -   非零度顶点是强连通的
    -   每个顶点的入度和出度相等
4.  有向图是半欧拉图当且仅当：
    -   非零度顶点是弱连通的
    -   至多一个顶点的出度与入度之差为 1
    -   至多一个顶点的入度与出度之差为 1
    -   其他顶点的入度和出度相等

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## 代码示例

判断一个有向图是否为欧拉图，代码如下：
```c++

const int N = 1e7 + 5;
int n, m, in[N], out[N];
bool vis[N];
vector<int> g[N];
void dfs(int u)
{
    if(vis[u]) return;
    vis[u] = 1;
    for(auto v : g[u]) dfs(v);
}
bool judge()
{
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(in[i] != out[i]) return 0;
    dfs(1);
    for(int i = 1; i <= n; i++) if(!vis[i]) return 0;
    return 1;
}

```

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## 求欧拉回路或欧拉路

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### Fleury 算法

也称避桥法，是一个偏暴力的算法。

算法流程为每次选择下一条边的时候优先选择不是桥的边。

一个广泛使用但是错误的实现方式是先 Tarjan 预处理桥边，然后再 DFS 避免走桥。但是由于走图过程中边会被删去，一些非桥边会变为桥边导致错误。最简单的实现方法是每次删除一条边之后暴力跑一遍 Tarjan 找桥，时间复杂度是 $\Theta(m(n+m))=\Theta(m^2)$。复杂的实现方法要用到动态图等，实用价值不高。

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### Hierholzer 算法

也称逐步插入回路法。

### 过程

算法流程为从一条回路开始，每次任取一条目前回路中的点，将其替换为一条简单回路，以此寻找到一条欧拉回路。如果从路开始的话，就可以寻找到一条欧拉路。

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### 实现 :Hierholzer 算法的暴力实现如下：

$$
\begin{array}{ll}
1 &  \textbf{Input. } \text{The edges of the graph } e , \text{ where each element in } e \text{ is } (u, v) \\\\
2 &  \textbf{Output. } \text{The vertex of the Euler Road of the input graph}.\\\\
3 &  \textbf{Method. } \\\\
4 &  \textbf{Function } \text{Hierholzer } (v) \\\\
5 &  \qquad circle \gets \text{Find a Circle in } e \text{ Begin with } v \\\\
6 &  \qquad \textbf{if } circle=\varnothing \\\\
7 &  \qquad\qquad \textbf{return } v \\\\
8 &  \qquad e \gets e-circle \\\\
9 &  \qquad \textbf{for} \text{ each } v \in circle \\\\
10&  \qquad\qquad v \gets \text{Hierholzer}(v) \\\\
11&  \qquad \textbf{return } circle \\\\
12&  \textbf{Endfunction}\\\\
13&  \textbf{return } \text{Hierholzer}(\text{any vertex})
\end{array}
$$

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无向图欧拉回路的代码示例
```c++
// st   :以顶点序列形式存储欧拉回路的栈
// top  :栈 st 的栈顶位置索引
// head ：邻接表表头数组，其中 head[u] 为结点 u 的邻接表表头
// e    :邻接表结构体，其中 e[i].nxt 指向下一条边
sturct Node
{
	int tv, id, nxt ; // 边的端点和编号
}e[M << 1];
void dfs(int u)
{
	for(int i = head[u]; i; i=e[i].nxt)
	{
		if(used[e[i].id]) continue; // 如果边已经访问过， 则直接略过
		used[e[i].id] = 1;
		dfs(e[i].tv);
	}
	st[++top] = u; // 将顶点u入栈
}
void find_euler_circuit()
{
	dfs(1);
	reverse(st + 1, st + top + 1); // 栈 st 中存储的是欧拉回路的反序，翻转后即为正序
}
    
```
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#### 性质

这个算法的时间复杂度约为 $O(nm+m^2)$。实际上还有复杂度更低的实现方法，就是将找回路的 DFS 和 Hierholzer 算法的递归合并，边找回路边使用 Hierholzer 算法。

如果需要输出字典序最小的欧拉路或欧拉回路的话，因为需要将边排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m\log m)$（计数排序或者基数排序可以优化至 $\Theta(n+m)$）。如果不需要排序，时间复杂度是 $\Theta(n+m)$。

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### 应用

有向欧拉图可用于计算机译码。

设有 $m$ 个字母，希望构造一个有 $m^n$ 个扇形的圆盘，每个圆盘上放一个字母，使得圆盘上每连续 $n$ 位对应长为 $n$ 的符号串。转动一周（$m^n$ 次）后得到由 $m$ 个字母产生的长度为 $n$ 的 $m^n$ 个各不相同的符号串。

![](http://39.99.183.126:8888/file/2/euler1.svg)

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构造如下有向欧拉图：

设 $S = \{a_1, a_2, \cdots, a_m\}$，构造 $D=\langle V, E\rangle$，如下：

$V = \{a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}} |a_i \in S, 1 \leq i \leq n - 1 \}$

$E = \{a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}|a_j \in S, 1 \leq j \leq n\}$

规定 $D$ 中顶点与边的关联关系如下：

顶点 $a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}$ 引出 $m$ 条边：$a_{i_1}a_{i_2}\cdots a_{i_{n-1}}a_r, r=1, 2, \cdots, m$。

边 $a_{j_1}a_{j_2}\cdots a_{j_{n-1}}$ 引入顶点 $a_{j_2}a_{j_3}\cdots a_{j_{n}}$。

![](http://39.99.183.126:8888/file/2/euler2.svg)

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这样的 $D$ 是连通的，且每个顶点入度等于出度（均等于 $m$），所以 $D$ 是有向欧拉图。

任求 $D$ 中一条欧拉回路 $C$，取 $C$ 中各边的最后一个字母，按各边在 $C$ 中的顺序排成圆形放在圆盘上即可。

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## 例题

[洛谷 P2731 骑马修栅栏](https://www.luogu.com.cn/problem/P2731)

给定一张有 500 个顶点的无向图，求这张图的一条欧拉路或欧拉回路。如果有多组解，输出最小的那一组。
    
在本题中，欧拉路或欧拉回路不需要经过所有顶点。
    
边的数量 m 满足 $1\leq m \leq 1024$。

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解题思路:

用 Fleury 算法解决本题的时候只需要再贪心就好，但是由于复杂度不对，所以要换用 Hierholzer 算法。
    
保存答案可以使用 `std::stack<int>`，因为如果找的不是回路的话必须将那一部分放在最后。
    
注意，不能使用邻接矩阵存图，否则时间复杂度会退化为 $\Theta(nm)$。由于需要将边排序，建议使用前向星或者 `std::vector` 存图。示例代码使用 `std::vector`。

示例代码
```cpp
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <stack>
#include <vector>
using namespace std;

struct edge {
  int to;
  bool exists;
  int revref;

bool operator<(const edge& b) const { return to < b.to; }
};

vector<edge> beg[505];
int cnt[505];

const int dn = 500;
stack<int> ans;

void Hierholzer(int x) {  // 关键函数
  for (int& i = cnt[x]; i < (int)beg[x].size();) {
    if (beg[x][i].exists) {
      edge e = beg[x][i];
      beg[x][i].exists = 0;
      beg[e.to][e.revref].exists = 0;
      ++i;
      Hierholzer(e.to);
    } else {
      ++i;
    }
  }
  ans.push(x);
}

int deg[505];
int reftop[505];

int main() {
  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    beg[i].reserve(1050);  // vector 用 reserve 避免动态分配空间，加快速度
  }

int m;
  scanf("%d", &m);
  for (int i = 1; i <= m; ++i) {
    int a, b;
    scanf("%d%d", &a, &b);
    beg[a].push_back((edge){b, 1, 0});
    beg[b].push_back((edge){a, 1, 0});
    ++deg[a];
    ++deg[b];
  }

for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    if (!beg[i].empty()) {
      sort(beg[i].begin(), beg[i].end());  // 为了要按字典序贪心，必须排序
    }
  }

for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    for (int j = 0; j < (int)beg[i].size(); ++j) {
      beg[i][j].revref = reftop[beg[i][j].to]++;
    }
  }

int bv = 0;
  for (int i = 1; i <= dn; ++i) {
    if (!deg[bv] && deg[i]) {
      bv = i;
    } else if (!(deg[bv] & 1) && (deg[i] & 1)) {
      bv = i;
    }
  }

Hierholzer(bv);

while (!ans.empty()) {
    printf("%d\n", ans.top());
    ans.pop();
  }
}
```

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## 习题

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