提高级-排序算法-排序相关STL

#  C 和 C++ 标准库中实现的排序算法

除已说明的函数外，本页所列函数默认定义于头文件 `<algorithm>` 中。

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## qsort

参见：[`qsort`](https://zh.cppreference.com/w/c/algorithm/qsort)，[`std::qsort`](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/qsort)

该函数为 C 标准库实现的 [快速排序](./quick-sort.md)，定义在 `<stdlib.h>` 中。在 C++ 标准库里，该函数定义在 `<cstdlib>` 中。

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### qsort 与 bsearch 的比较函数

qsort 函数有四个参数：数组名、元素个数、元素大小、比较规则。其中，比较规则通过指定比较函数来实现，指定不同的比较函数可以实现不同的排序规则。

比较函数的参数限定为两个 const void 类型的指针。返回值规定为正数、负数和 0。

比较函数的一种示例写法为：

```c
int compare(const void *p1, const void *p2)  // int 类型数组的比较函数
{
  int *a = (int *)p1;
  int *b = (int *)p2;
  if (*a > *b)
    return 1;  // 返回正数表示 a 大于 b
  else if (*a < *b)
    return -1;  // 返回负数表示 a 小于 b
  else
    return 0;  // 返回 0 表示 a 与 b 等价
}
```

注意：返回值用两个元素相减代替正负数是一种典型的错误写法，因为这样可能会导致溢出错误。

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以下是排序结构体的一个示例：

```c
struct eg  // 示例结构体
{
  int e;
  int g;
};

int compare(const void *p1,
            const void *p2)  // struct eg 类型数组的比较函数：按成员 e 排序
{
  struct eg *a = (struct eg *)p1;
  struct eg *b = (struct eg *)p2;
  if (a->e > b->e)
    return 1;  // 返回正数表示 a 大于 b
  else if (a->e < b->e)
    return -1;  // 返回负数表示 a 小于 b
  else
    return 0;  // 返回 0 表示 a 与 b 等价
}
```

这里也可以看出，等价不代表相等，只代表在此比较规则下两元素等价。

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## std::sort

参见：[`std::sort`](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/sort)

用法：

```cpp
// a[0] .. a[n - 1] 为需要排序的数列
// 对 a 原地排序，将其按从小到大的顺序排列
std::sort(a, a + n);

// cmp 为自定义的比较函数
std::sort(a, a + n, cmp);
```

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注意：sort 的比较函数的返回值是 true 和 false，用 true 和 false 表示两个元素的大小（先后）关系，这与 qsort 的三值比较函数的语义完全不同。具体内容详见上方给出的 sort 的文档。

如果要将 sort 简单改写为 qsort，维持排序顺序整体上不变（不考虑等价的元素），需要将返回 true 改为 - 1，返回 false 改为 1。

`std::sort` 函数是更常用的 C++ 库比较函数。该函数的最后一个参数为二元比较函数，未指定 `cmp` 函数时，默认按从小到大的顺序排序。

旧版 C++ 标准中仅要求它的 **平均** 时间复杂度达到 $O(n\log n)$。C++11 标准以及后续标准要求它的 **最坏** 时间复杂度达到 $O(n\log n)$。

C++ 标准并未严格要求此函数的实现算法，具体实现取决于编译器。[libstdc++](https://github.com/mirrors/gcc/blob/master/libstdc++-v3/include/bits/stl_algo.h) 和 [libc++](http://llvm.org/svn/llvm-project/libcxx/trunk/include/algorithm) 中的实现都使用了 [内省排序](./quick-sort.md#内省排序)。

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## std::nth\_element

参见：[`std::nth_element`](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/nth_element)

用法：

```cpp
std::nth_element(first, nth, last);
std::nth_element(first, nth, last, cmp);
```

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它重排 `[first, last)` 中的元素，使得 `nth` 所指向的元素被更改为 `[first, last)` 排好序后该位置会出现的元素。这个新的 `nth` 元素前的所有元素小于或等于新的 `nth` 元素后的所有元素。

实现算法是未完成的内省排序。

对于以上两种用法，C++ 标准要求它的平均时间复杂度为 $O(n)$，其中 n 为 `std::distance(first, last)`。

它常用于构建 [K-D Tree](../ds/kdt.md)。

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## std::stable\_sort

参见：[`std::stable_sort`](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/stable_sort)

用法：

```cpp
std::stable_sort(first, last);
std::stable_sort(first, last, cmp);
```

稳定排序，保证相等元素排序后的相对位置与原序列相同。

时间复杂度为 $O(n\log (n)^2)$，当额外内存可用时，复杂度为 $O(n\log n)$。

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## std::partial\_sort

参见：[`std::partial_sort`](https://zh.cppreference.com/w/cpp/algorithm/partial_sort)

用法：

```cpp
// mid = first + k
std::partial_sort(first, mid, last);
std::partial_sort(first, mid, last, cmp);
```

将序列中前 `k` 元素按 `cmp` 给定的顺序进行原地排序，后面的元素不保证顺序。未指定 `cmp` 函数时，默认按从小到大的顺序排序。

复杂度：约 $(\mathit{last}-\mathit{first})\log(\mathit{mid}-\mathit{first})$ 次应用 `cmp`。

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原理：

`std::partial_sort` 的思想是：对原始容器内区间为 `[first, mid)` 的元素执行 `make_heap()` 操作，构造一个大根堆，然后将 `[mid, last)` 中的每个元素和 `first` 进行比较，保证 `first` 内的元素为堆内的最大值。如果小于该最大值，则互换元素位置，并对 `[first, mid)` 内的元素进行调整，使其保持最大堆序。比较完之后，再对 `[first, mid)` 内的元素做一次堆排序 `sort_heap()` 操作，使其按增序排列。注意，堆序和增序是不同的。

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## 自定义比较

参见：[运算符重载](https://zh.cppreference.com/w/cpp/language/operators)

内置类型（如 `int`）和用户定义的结构体允许定制调用 STL 排序函数时使用的比较函数。可以在调用该函数时，在最后一个参数中传入一个实现二元比较的函数。

对于用户定义的结构体，对其使用 STL 排序函数前必须定义至少一种关系运算符，或是在使用函数时提供二元比较函数。通常推荐定义 `operator<`。[^note1]

示例：

```cpp
int a[1009], n = 10;
// ...
std::sort(a + 1, a + 1 + n);                  // 从小到大排序
std::sort(a + 1, a + 1 + n, greater<int>());  // 从大到小排序
```

```cpp
struct data {
  int a, b;

bool operator<(const data rhs) const {
    return (a == rhs.a) ? (b < rhs.b) : (a < rhs.a);
  }
} da[1009];

bool cmp(const data u1, const data u2) {
  return (u1.a == u2.a) ? (u1.b > u2.b) : (u1.a > u2.a);
}

// ...
std::sort(da + 1, da + 1 + 10);  // 使用结构体中定义的 < 运算符，从小到大排序
std::sort(da + 1, da + 1 + 10, cmp);  // 使用 cmp 函数进行比较，从大到小排序
```

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### 严格弱序

另请参阅：[C++ 中的应用 - 序理论](../math/order-theory.md#c-中的应用)

进行排序的运算符必须满足 [严格弱序](../math/order-theory.md#二元关系)，否则会出现不可预料的情况（如运行时错误、无法正确排序）。

常见的错误做法：

-   使用 `<=` 来定义排序中的小于运算符。
-   在调用排序运算符时，读取外部数值可能会改变的数组（常见于最短路算法）。
-   将多个数的最大最小值进行比较的结果作为排序运算符（如皇后游戏/加工生产调度 中的经典错误）。